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조안호 칼럼

학생들의 수학공부에 도움이 되는 조안호선생님의 여러 가지 글들을 실어놓았습니다. 학부모님들뿐만 아니라 학생들도 읽었으면 좋겠습니다.

수포자 방지 포르젝트 2탄 : 커리큘럼

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작성자 관리자
댓글 0건 조회 1,885회 작성일 21-06-17 15:29

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커리큘럼 : 아이가 밟고 지나갈 수 있는 징검다리를 놓아라



초등수학은 수와 연산, 도형, 측정, 규칙성, 자료와 가능성 등의 5대 영역을 균형 있게 가르친다고 한다. 말은 좋다. 그러나 가르치는 사람은 골고루 가르치려 하겠지만, 배우는 사람은 선택과 집중을 잘해야 한다.


만약 연산이 잘 안된다면 5대 영역이 균형 있게 다 안 될 것이다. 앞서 초등에서는 연산이 전부라고 강조했었다. 단순하게 생각할 때, 연산을 잘하는 초등학교 아이가 수학을 못하거나 포기하는 것을 본 적이 있나? 초등에서 연산을 잘 준비하면 중학교에서 잘할 것이며, 중학교에서 개념과 함수를 잡으면 고등수학을 잘하게 된다.


직접 아이들을 가르쳐본 사람이라면 아이가 연산을 잘했을 때 얼마나 파워풀한지를 실감할 것이다. 연산을 가르쳐보지 못한 사람들이 연산을 가르쳐야 될 것인지 말 것인지를 고민한다. 수학에서 연산은 국어의 '가나다라'와 같다. 국어에서 가나다라를 가르쳐야 될지 말지를 고민해야 하나요? 수학에서 연산은 해야할지 말아야할지가 아니라 연산연습의 대상과 목표를 고민해야 하는 것이 맞다. 물론 연산만 잘한다고 수학을 잘하는 것은 아니다. 그런데 가르쳐보면 연산을 잘하는 아이에게 개념을 가르치면 호랑이가 날개를 얻은 격이다. 물론 연산을 큰 수의 연산을 계속하거나 사고력연산이니 하며 쓸데없는 연산을 하면서 시간을 보내면 오히려 생각하지 않는 아이로 변하는 치명적인 약점이 있다. 연산이 중요하다고는 하지만 시기 조절, 완급조절 등을 통하여 연산의 부작용을 최대한 줄여가면서 필요한 연산력을 얻어야 한다. 연산훈련을 통해서 얻어야 하는 것은 기본적으로 사칙연산이겠지만 그것을 넘어서 중고등수학은 수감각까지를 요구한다.


연산의 방향을 다 맞았다로 안심하거나 큰 수를 연습시키거나 어려운 문제를 풀리면서 뭔가 될 것이라는 식은 나중에 중고등학교에서 치명적인 실수로 남게 될 것이다. 연산의 목표는 분명하다. 초등에서 작은 수 5-6개의 암산, 중학교 7-8개, 고등에서 10개정도의 암산을 하는 것이 목표이다. 이 목표가 아닌 다른 모든 것은 잘못된 연산연습이다.


구체적 훈련 대상은 덧셈·뺄셈의 가로셈, 구구단의 순창과 역창, 분산창, 몫창, 두 자릿수 곱하기 한 자릿수, 두세 자릿수 나누기 한 자릿수, 약수와 배수, 공약수 와 공배수, 약분, 소수(약수가 2개인 수), 거듭제곱, 소인수분해, 분수의 사칙 계산, 정수 연산, 일차방정식, 무리수, 인수분해 등이다.


연산이든 개념이든 모든 수학 공부의 목표는 고1이며, 고1에서 수포자가 다 나온다. 고1에서 잘하면 고2, 고3에서도 잘하며 그렇지 않고 고1에서 못했는데 고2,3에서 잘하는 경우는 없다고 보면 된다. 진도만 나가면서 뿌듯해하는 것은 의미가 없나는 말이다. 고1에서 필요한 연산을 초등부터 잡아야 하는 데 연산의 완성도는 구체적인 수치로 나타난다. 구체적인 수치를 기준으로 해야지 엄마의 실력을 기준으로 대충 잘하는 것으로 보고 넘어갔다가는 낭패를 보기 쉽다. 연산은 별도하고 생각하고 따로 잡아가면서 개념을 잡고 문제를 통해서 개념을 확인하는 작업을 지속해야 한다.


1. 저학년부터 차곡차곡 공부하는 정규 커리큘럼


초등 1-2학년은 덧셈·뺄셈의 가로셈으로 암산력을 키우는 시기이며 구구단을 철저히 해야 한다. 덧셈·뺄셈의 가로셈 20문제는 40초이내, 구구단 거꾸로 한꺼번에 외우기 36초를 완성해야 한다. 개념으로 보면 수 세기, 10의 보수, 곱의 개념, 자릿수와 자릿값 등이 혼동되지 않도록 알려주어야 한다.

초등 3학년은 두 자릿수 곱하기 한 자릿수와 두세 자릿수 나누기 한 자릿수를 통해서 수학의 원천 빠르기를 완성시키는 때이며 필요로하는 것을 충실하 한다면 3-4개정도의 암산이 될 것이다. 두 자릿수 곱하기 한 자릿수 20문항은 1분 20초, 두세 자릿수 나누기 한 자릿수는 20문항 최장 1분 30초로 만들어야 한다. 그런데 여기에 만족하지 말고 구구단의 몫창, 약수와 배수, 거듭제곱, 소수(약수가 2개인 수)를 알려주고 소인수분해를 시작해야 점차 아이의 수감각을 살릴 수 있다.


고학년은 초등 연산의 꽃인 분수를 하느라 힘들고 시간이 없다. 수 세기 확장, 거듭제곱을 통한 합과 곱의 구분, 0의 개념, 분수의 위대한 성질 등을 가르치면 된다. 초등 5-6학년은 모두 분수를 하는 학년으로 특히 5학년은 분수의 사칙계산을 하나씩 튼튼히 잡고 마지막에 흔들기까지 해야 안심할 수 있다. 그런데 5학년의 분수에서 암산을 시도하여 5-6개정의 암산을 할 수있도록 해야 한다. 모든 분수를 암산하면 10-11개까지의 암산을 요구하는 것으로 너무 과하여 자칫 부작용을 생길 수있다. 자연스럽게 5-6개정도를 할 수있도록하는 것을 목표로 삼으로면 된다. 교과서가 분수의 연산도 알고리즘대로를 고집하여 암산으로 가는 길을 막을텐데, 교과서를 너무 고지식하게 적용하기 때문이다. 교과서의 알고리즘도 그냥 가르치기 편한 기술일 뿐이다. 연산의 목표, 더 나아가 '논리적으로 생각하게 하는 것'만이 수학이라는 수학 본연의 목표를 항상 기억하고 가르쳐야 긴긴 교육과정에서 길을 잃지 않고 갈 수있다.


초등 5학년에서 분수를 배웠다면 6학년은 분수의 확장을 하는 시기이니 비와 비율, 비례식, 비례배분 등을 모두 교과서의 설명대로가 아닌 분수와의 관련성으로 이해시켜야 한다. 개념으로는 삼각형의 넓이, 대칭, 비례식으로 방정식 만들기, 확률을 확실하게 잡아야 한다. 또한 중학교를 대비해서는 늦어도 6학년 12월에는 중학교의 정수셈과 방정식을 먼저 두세 달 연습한 후에 교과과정에 진입하면 된다.


2. 초등 고학년에서 수포자의 길로 접어드는 아이들을 위한 커리큘럼

초등 고학년인데 수학을 싫어하고 어려워한다면 개념이 문제가 아니라 연산조차 안되었을 가능성이 더 높다. 왜냐면 초등학교에서 대부분은 개념을 배우지 못했고 문제가 쉬워서 연산만 해놓아도 수학을 잘한다. 따라서 아이가 수학을 싫어하거나 못한다면 가장 먼저 연산부터 확인하고 연산부터 잡거나 아니면 연산과 부족한 개념을 동시에 채워나가는 시간이 되어야 한다.


만약 초등 4학년이라면 암산력, 빠르기, 분수의 연산을 모두 잡을 시간이 있다. 그런데 아이가 어려워한다고 그냥 학원으로 보낸다거나 방문학습지를 시키면 빠르기를 위해 마지막 남은 시간을 수포로 돌리는 일이 될 것이다. 보통의 학원은 아이들의 부족한 연산을 잡아주는 프로그램 자체가 없으며 연산 학습지는 장기간의 프로그램이라서 좋은 선생님을 만나야 한다는 위험부담을 안게 된다. 그렇다면 직접 만들거나 시중의 연산책을 짜깁기 해야 하는데 이것을 할 사람은 부모님밖에 없다.

5-6학년인데 분수만 안 되고 나머지는 그런대로 된다면 어쩔 수 없이 중요한 분수부터 정규 커리큘럼대로 하면 된다. 그러나 암산력이나 곱셈, 나눗셈 등에서부터 심각한 문제가 있다면 역시 시중의 어떤 프로그램으로도 해결되지 않는다. 필자가 연산때문에 20년을 고생하였다. 어느누구보다도 연산을 부모님이 아이들을 가르칠 때의 어려움을 이해한다. 필자가 수포자방지 프로젝트이 일환으로 <조안호연산>이라는 앱을 개발하였다. 이 앱으로 시킬 때, 초등 고학년이든 중학생이든 늦는 때란 없다. 초중학교에서 필요한 연산을 3-4년정도에 끝낼 의도로 프로그램을 만들었기 때문이다. 만약 초등을 지나서 중학교에 접어들어서 수학을 못한다해도 사실 포기만 하지 않으면 수학이 해결될 수있다. 중학생 절반이 분수의 사칙연산조차 못하며 개념을 하나도 배우지 못하는 상황이다. 말도 안되는 상황은 둘째치고 다들 잘못된 공부를 하고 있으니 언제라도 마음만 먹으면 수학을 잘할 수있다는 것이다. 사실 중학생의 중,하위권은 모두 아무 생각이 없으며 그나마 하위권은 연산조차 안되어 하위권일 뿐이다. 초중학교의 연산을 빠른 시간 내에 기르면서 개념을 잡는다면 대역전의 길이 무조건 어렵지만은 않다. 지난 25년간 10-20점의 학생을 100점을 만들고 전교권의 학생으로 만든 것은 우연이 아니라 수학의 기본을 지키며 수학성공의 필연의 길로 갔기 때문이다.

3. 중고등학교에서 수포자의 길로 접어드는 아이들을 위한 커리큘럼


초등생과 달리 중고생은 고집이 황소고집이라서 억지로 시킬 수는 없다. 설사 아이가 수포자의 길로 접어들었다 해도 자신이 현실을 인정하고 상황을 타개하겠다고 마음먹지 않는다면 어느 누구도 어쩔 수 없다. 스스로를 수포자라고 생각했더라도 문제가 불거지는 시점은 대부분 중 3이나 고2 때다. 아이와의 대화를 통해서 수학이 힘들다는 것을 인정하고 아이가 공부해야겠다는 마음을 이끌어내서 시간을 확보하는 것이 가 장 필요하지 않나 싶다. 방법이 있어도 마음과 시간이 없으면 대책이 없어서 하는 말이다. 언제고 늦는 때는 없다고 하지만, 시간이 부족하면 하루 종일 수학만 공부해야 하는 너무 힘든 방법밖에 남지 않는다. 힘들지만 열심히만 한다면 중학교 연산인 일차방정식, 무리수, 인수분해의 부족 부분을 채우고 동시에 일차함수, 이차함수의 개념을 잡아나가면 한두달 만에도 고등수학을 할 수 있는 기초를 마련할 수 있다. 이렇게 해야만 하는 이유는 뒤에 자세히 다룬다.

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