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조안호 칼럼

학생들의 수학공부에 도움이 되는 조안호선생님의 여러 가지 글들을 실어놓았습니다. 학부모님들뿐만 아니라 학생들도 읽었으면 좋겠습니다.

수포자 방지 프로젝트 3탄 : 중등 수포자가 그냥 지나친 10가지 초등개념

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작성자 관리자
댓글 0건 조회 2,177회 작성일 21-06-17 15:43

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중등 수포자가 그냥 지나친 10가지 초등개념 : 안 배우고 푸는 어려움이 훨씬 더 크다



강남의 한 중학수학 학원장과 의견을 교환한 적이 있었다. 필자가 하위권 얘기를 꺼내자 그 원장이 하위권은 얘기해봐야 소용없으니 중상위 권 이야기를 하잔다. 이유를 물으니 하위권은 어떻게 해도 꼼짝하지 않으니 중위권을 상위권으로 올리거나 상위권을 최상위권으로 올리는 방법만 궁금하다는 대답이 돌아왔다. 그 때 필자가 해준 말이다.

하위권이라 해도 마음을 고쳐먹고 연산을 잡고 개념을 하나하나 익히면 중위권을 거쳐 얼마든지 상위권으로 도달할 수 있다. 필자가 보기에 하위권은 물론이고 중위권도 수포자의 경계에 있는 아이들이다. 따라서 수포자는 일부의 아이들 일이 아니라 대다수 학생들을 포함하는 중요한 문제이다.


고등학교에서 수학을 포기하면서 나도 초등때는 중등때는 수학을 잘했었다고 말하는 게 무슨 의미가 있겠는가? 제대로 공부해서 상위권으로 치고 올라가야 수학을 공부하는 의미가 있다. 상위권이라니까 성적만 생가한다고 생각할지도 모르겠다. 개념을 가지고 수학문제를 풀 때, 지금처럼 문제유형을 푸는 학생들을 넘어 상위권으로 가는 것은 당연하기 때문에 그렇게 말한 것이다.


지금 대한민국의 수학이 이렇게 많은 공부를 학생들에게 시켰음에도 불구하고 수학을 못하거나 수포자가 되는 이유는 수학의 공부방법을 잘못 안내하고 있기 때문이다. 수학공부를 잘하는 방법은 '개념을 가지고 문제를 푸는 것'이 유일한 방법인데 이것을 실행하지 않기 때문에 대한민국의 똑똑한 학생들이 수포자의 길로 접어드는 것이다. 조금만 생가해봐도 문제를 풀어서 개념이 잡히거나 머리가 좋아지거나 으용이 된다는 황당한 주장이 근거가 없음을 확인할 수있을 것이다. '개념을 가지고 문제를 푸는 것'이라는 수학공부방법을 철저히 지키고 단 한발자국도 양보하지 말기를 충심으로 부탁한다.


초등수학의 개념은 주로 연산기호들에 있는데, 오늘은 그 외에 추가로 해야 되는 것들 중 나름 중요한 것 10가지를 뽑고 간단히 설명 하려 한다. 즉, 수세기, 0의 성질, 덧셈과 곱셈의 구분, 분수의 위대한 성 질, 삼각형의 넓이, 대칭, 비례배분, 등식의 성질, 비례식을 방정식으로 만들기, 확률 등인데 나머지의 초등 개념이나 중학개념은 필자의 책을 참고하기 바란다.




1) 수 세기 :

수 세기를 하려면 1,2,3,…으로 출발해야 하고 마지막 수가 총 개수인 데, 이 정의는 필자가 만든 정의로 앞으로 수학문제를 풀면서 개수를 묻는다면 개수를 세는 유일한 방법이니 항상 수세기의 정의를 생각해야 한다. 이 방법을 확장하면 중고등학교의 어려운 많은 문제들이 깔끔하게 정리된다. 중고등학교에서 사용되는 수세기의 활용 예는 유튜브에서 조안호수학연구소TV검색하여 보기 바란다. 또한 수에는 기수와 서수의 의미가 있다. 이들의 구분이 별 것 아니라고 하겠지만, 함숫값에서 이를 넘나드는 사용을 시작하면 많은 아이들이 혼동한다.




2) 0의 성질 :

합과 곱이 0이 되는 것에서 0의 성질이 사용된다. 초등에서는 0이 많 이 쓰이지는 않지만, 초등에서 개념이 잘못 잡히면 배우지도 않는 중고 등학교에서 많은 오답의 원인이 된다. 필자가 0의 정의를 원래 없는 것이 아니라 ‘있다 가 없는 것’이라고 정의를 내렸다. 앞으로 0과 관련하여 교과서나 선생님이 무조건 약속이라며 외우라고 하면 필자가 만든 0의 정의를 생각해야 할 것이다. 원래부터 없다는 0의 의미는 수학에서 사용되는 예가 극히 제한 적이다. 특히 많은 학생들은 를 ‘있지만 쓰지 않는다는 의미’인 생략과 혼동한다.




3) 덧셈과 곱셈의 구분 :

곱과 합의 혼동은 중고등학생이 가장 헷갈려하는 개념이다. 거듭제곱을 가르쳐야 비로소 곱과 합을 헷갈려하니 미리 가르쳐서 시간을 확보하고 거듭제곱이나 곱을 말로 하는 연습을 해야 한다. 거듭제곱은 원래 중1에서 처음 배우는데, 그때 거듭제곱과 소수를 배우고 배우자마자 소인수분해의 어려운 문제를 풀린다. 거듭제곱과 소수를 배우자마자 확장하며 수감각을 요구하는 것과 같다. <조안호연산>에서는 초등3-4학년에서 거듭제곱과 소수(약수가 2개인 수)를 가르치는 데, 이때 가르치면 5학년의 분수를 지나면서 큰 노력을 기울이지 않아도 자연스럽게 수감각이 자란다. 곱과 합의 혼동은 초등부터 자라서 중고등학교의 오답의 원이 된다. 정의와 개념을 정확하게 하지 않고 문제만 푼다면 혼동을 막을 길이없이 연산만 하게 되는 일이 벌어진다. 중고등학교의 연산은 덧셈과 곱셈만 있으며 점차 이들을 동시에 물어보는 확장의 단계로 넘어간다. 초등학교에서 연산을 제대로 했다면, 중학교에서 덧셈과 곱셈의 구분을 정확하게 하면 연산으로 틀리는 일은 없다는 것이다.




4) 분수의 위대한 성질 :

한 분수에서 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 그 크기는 같다.’ 분수의 위대한 성질이라는 용어는 필자가 만든 말로 이 성질로 분수의 사칙계산이 설명된다. ‘위대한’이라는 단어를 붙인 이유는 고등까지 계속 사용되기 때문이다. 분수의 위대한 성질은 당장 분수의 사칙계산의 방법을 설명할 뿐만아니라 계속해서 고등학교까지 분수만 나오면 이 생각을 1차로 해야 한다. 수학의 수는 크게 보면 자연수와 분수밖에 없으며 중고등학교에서 큰 수가 나오지 않으니 결국 중고등학교의 연산의 어려움은 분수로부터 온다고 할 수있다. ㄷ그런데 분수의 성질을 모른다면 절대 수학을 잘하기는 어렵다고 보아야 한다.



5) 삼각형의 넓이 :

밑변과 높이만 같으면 모든 삼각형의 넓이가 같은 것에서 끝내지 말 고 높이가 같은 삼각형들의 합 등도 가르쳐야 한다. 직사각형의 반이 삼각형이지만, 현실적으로 중고등학교에서 다루는 모든 도형을 분할 하여 삼각형을 기본도형으로 삼기에 삼각형으로 모든 도형의 넓이를 구하게 된다. 따라서 삼각형의 넓이를 구하는 다양한 방법이나 카발리에원리 등의 이론들을 좀 더 가르쳐야 하고 철저하게 이해시켜야 한다. 대신에 사각형과 관련된 많은 넓이 공식을 교과서처럼 외워서는 안된다. 교과서의 사각형 넓이공식을 외우게 시키지말고, 대신 사각형의 대각선을 그어서 만든 두 삼각형의 합으로 가르치면 된다.




6) 대칭 :

초등에서 배운 이동 중에 평행이동과 대칭이동이 함수에서 가장 많이 쓰인다. 중학교에서 평행이동은 아이들이 잘하는데, 대칭이 함수에서 쓰이기 시작하면 어려워한다. 특히 고등학생들의 어려운 문제에 대칭이 많이 쓰인다. 고등학생들이 함수에서 '선대칭도형'과 '선대칭의 위치에 있는 도형'을 혼동하거나 점대칭의 정의들을 모르거나 활용을 하지 못하는데 정작 본인이 무엇을 혼동하는지를 모른다는 것이 문제이다.




7) 비례배분 :

비례해서 배분하는 것으로 분수를 통해서 설명해야 한다. 특히 도형의 길이나 각의 분할 문제에서 많은 중학생들이 생각이 안 났다고 하는 것 중 하나다. 중학도형에서 가장 어려워하는 닮음과 비례배분이 같이 나올때, 가장 이해를 못하는 것으로 보인다.




8) 등식의 성질 :

‘양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립 한다. 단, 0으로 나누면 안 된다.’ 등호는 수학에서 가장 중요한 기호 중 의 하나이고, 등식의 성질은 초등 2학년 떼부터 문제가 계속 나오고 있지 만 상식에 의존하여 가르치기에 등호의 의미를 잘 모른다. 등호가 있는 모든 문제를 바로 이 등식의 성질로 푼다. 등식에는 '방정식', '항등식', '말도안되는 등식'이 있으며 이들은 모두 등식이니 등식의 성질로 푼다. 같은 말이지만 방정식도 등식이니 모든 방정식은 등식의 성질로 푼다. 이처럼 중고등학교의 모든 식은 알게 모르게 등식의 성질과 직간접적으로 연결되어 있다. 게다가 사실 ‘등식의 성질’을 확장하면 다양한 성질들이 나오지만 중고등학교에서는 가르치지 않기에 다 이유도 모른 채 외우고 있는 게 현실이다. 앞으로 하나하나 확장되는 '등식의 성질'을 모두 공개할 것이며, 어렵지 않으니 하나하나 가르쳐 서 깔끔하게 머릿속을 정리해나가는 것이 수학을 공부하는 가장 빠른 방법이다.



9) 비례식을 방정식으로 만들기 :

비례식은 두 비를 등식으로 만든 식이다. 모든 비는 분수로 만들수있고, 분수이면 분수의 성질을 사용할 수 있으며, 등식이니 등식의 성질을 사용하게 된다. 따라서 비례식은 분수의 설질과 등식의 성질을 사용하면 모든 것이 해결된다. 그런데 현실은 이들을 하나하나 혼자서 생각할 수없으니, 중학교에서는 비례식을 방정식으로 만들지 못하면 풀지 못하는 문제들이 있다. 초등학교에서 비례식의 성질만 외우게 시켜 놓고 말았는데 교과서 집필진들이 비례식으로 방정식 만들기를 가르친 것으로 착각하는 건가 싶을 정도다. 두 비를 분수로 만들고 등식의 성질을 적용하면 방정식이 된다. 아이가 잘 받아들인다면 역으로 방정식 꼴로 되어 있는 비례 관계식을 가지고 비례식을 만들어보는 것도 좋다.



10) 확률 :

확률로 가는 길목에 ‘경우의 수’라는 것이 있고 이것이 어렵다. 특히 합의 법칙과 곱의 법칙을 구분하는 것이 초중학교의 목표이다. 초등에서 못 잡았다면 중학교에서는 반드시 잡고 고등학교에 올라가야 한다. 이것 이 잘 안 되면 고등학교에서 ‘확률과 통계’라는 수학책 한 권이 전부 위험에 처하게 된다.




그동안 문제집만 풀었다면 아마 필자 때문에 연산과 개념을 추가해야 하는 어려움이 생겼다고 푸념하는 분들도 있겠다. 그렇다면 연산과 개념 을 추가하는 만큼 문제집을 덜 풀어도 된다고 생각하면 좋겠다.

이 기회에 한마디만 하자. 개념이나 정의를 외워서 그것을 가지고 문제를 푸는 것이 수학의 올바르면서 유일한 문제풀이 방법이며 그 밖의 방법은 다 기술이고 유형풀이다. 초중등의 교과서에는 많은 사람들의 생각과 달리 개념이 단 한 개도 없다. 개념을 책에 넣으면 학생들이 물어볼 것이고 선생님들이 대답할 수없으니 넣을 수 없다는 어려움은 인정한다. 그런데 최소한 교과서에 정의는 쓰여져있어야 교과서라 할 수 있다. 초중학교의 교과서가 될 수 있으면 정의를 넣지 않으려하고 있으며 그나마 넣은 것도 넣기 싫은 데 억지로 최소한 넣은 것으로 보인다. 그 조금의 정의마져도 아직은 아이들이 어리다고 이해하지 못할 것이라는 생각으로 거의 대부분 틀리게 임시방편처럼 정의를 내렸지만, 잘못 내린 정의를 이후에 다시는 수정하지 않아서 많은 중고등학생들이 오류를 가지고 문제를 풀고있다. 쉽게 말해서 교과서의 정의를 외워서 문제가 하나도 풀리지 않으며, 그 이유는 정의가 아니기 때문이다. 게다가 교육 당국은 지난 10년간 사교육을 잡고 학생들의 부담을 줄이겠다며 교과서에서 많은 양을 덜어내었다. 하지만 그로 인해 수학이 쉬워졌다고 하는 학생을 본 적이 없는데, 뺀 만큼 아이들의 실력 도 같이 내려갔기 때문이다. 또한 교과서에서 무엇을 뺐어도 문제는 상식이라는 이름으로 고스란히 남아 있다. 배우는 어려움보다 배우지 않고 문제를 푸는 어려움이 훨씬 더 크다. 따라서 교과서의 분량을 줄이면 공부분량이 주는 것이 아니라 오히려 불친절한 것이 된다는 것을 알았으면 좋겠다. 초중학교 학생이라면 앞으로도 갈 길이 멀다. 연산도 개념도 교과서가 가리키는 지침이 잘못되었으니버려야 한다. 게다가 소위 유행이라는 주변의 유혹에 휘둘리지 말며 오로지 꼭 필요한 연산, 올바른 수학의 정의나 개념근성과 함께 키워서 진정한 실력을 쌓아나가는 게 가장 확실한 방법이다. 개념을 가지고 문제를 풀어서 개념이 튼튼해지는 것만이 수학의 실력이 자라는 것이라는 것을 분명히 하시기 바란다.



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