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조안호 칼럼

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수포자 방지 프로젝트 4탄 : 고등수포자 방지를 위한 중학수학 대처법

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작성자 관리자
댓글 0건 조회 1,774회 작성일 21-06-17 15:45

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고등 수포자 방지를 위한 중학수학 대처법 :

함수 먼저, 그다음에 방정식으로 가면 더 빠르다.



고등학생들 가운데 60% 정도가 수포자이며 수능에서 30점 이하가 40%에 육박한다는 사실을 알고 있을까? 심정적으로 수학을 포기하는 때는 고2이나 고3이 아니라 고등학교에 올라가 2개월이 지난 중간고사 직후다. 수학의 무엇이 이토록 아이들을 질리도록 했을까? 고등수포자의 원인을 한 마디로 말하면 초중등에서 배워야할 개념부재가 총체적인 원인이다. 그중에서도 좀더 구체적으로들어가서 원인을 꼭집어 말하면 중학함수의 부족이 가장 큰 원인이다.


고1이 중학교와 달라진 것이 있다면 3차식이나 4차식이 나왔다는 것인데, 이것 때문에 아 이들이 어려워하는 것은 아니다. 한마디로 말하면 여전히 중학교에서 배웠던 이차식 즉, 이차방정식, 이차함수, 이차부등식이 원인이다. 고등학생의 2/3는 이차방정식을 풀 줄 아니 자신감을 갖고 달려들었는데 뭔지 모르겠는 것이다. 고등학교의 이차식은 모두 이차함수와 관련되어 있는데, 아이들이 이차함수는 고사하고 함수값이라는 것 자체가 뭔지 모르고 있다는 결론이 나온다. 고등 수포자의 원인은 연산, 개념 부족 등 몇 가지 가 있지만 수학의 직접적인 단원으로 보면 중학 함수의 부족이라고 봐야 한다. 소위 말하는 중학교의 우등생이라는 아이들조차도 중학 함수를 잡지 못했기에 이들의 70% 정도가 추락한다. 중학교에서는 함수가 교과서의 20% 정도에 불과했지만, 고등수학은 함수가 90%를 차지하고 있다. 중학교에서 단지 함수 하나를 놓쳤을 뿐인데, 고등에서 수학을 포기하게 할 만큼 중요한 것이다. 그렇다면 왜 중학 함수를 3년간이나 배웠는데 모르는 것일까? 이 부분을 이해하는 것이 자연스럽게 중학 함수의 올바른 공부 방법으로 연결된다.


첫째, 함수의 중요성을 인식시키지 않았다.

교과서는 중요한 것이 아니라 알려줄 내용이 많으면 분량이 많아진다. 의도한 것은 아닐지라도 교과서의 함수 비중이 20%로 적기 때문에 중요한 것이 아니라는 신호가 공사교육업체에 전해진다. 각 학년의 1학기 기말고사 시험 범위에 방정식의 활용과 함수가 함께 들어가는데, 아이의 입장에서는 상대적으로 어려운 방정식 활용에 시간을 쏟다가 지치고 별것 없어 보이는 함수를 등한시하게 된다. 누군가는 함수의 중요성을 아이들에게 알려주어야 한다.



둘째, 3년 동안 함숫값 하나를 인식시키는 데 공사교육이 모두 실패했다.


교과서는 분량을 줄이느라고 집합, 대응처럼 함숫값을 이해하는 데 도움이 되는 개념을 계속 덜어내고 있다. 물론 이런 것이 없어도 함수를 설명할 수는 있지만, 중요한 함수에 도움이 되는 것을 삭제하면 안 된다고 본다. 또한 함숫값을 아이들에게 인식시키지 못한 중요한 이유 중의 하나는 현장에서 ‘함수의 정의’를 너무 고지식하게 적용하기 때문이다. 수학선생님들에게 아이들이 함숫값을 인식하지 못하는 이유를 알려드리면 '정말, 아이들이 모른 것이 그것이냐?'며 되묻는다. 선생님들이 함수를 모르는 것이 아니라 교과서처럼 가르치면 아이들이 이해못하는 지점을 알 수 없었기 때문이다. 교과서 정의대로 한다면 f(x)를 ‘x에 대한 함숫값’으로 인식하면 안 된다. 정의가 이러니 많은 아이들이 f(x)가 좌표평면의 아무 데나 돌아다니는 것으로 착각하는 것이다. 이 상태에서는 함숫값은 고사하고 그 어떤 것도 이해할 수 없게 되어 수능에서 2-3점의 쉬운 문제조차도 이해가 안되는 것이다.



셋째, 방정식과 함수의 관련성을 인식시키지 못했다.


고등수학에서는 아이들이 이차방정식이나 이차부등식을 풀기 위해서는 이차함수를 가져와야 한다. 그런데 방정식과 함수는 별개라는 생각이 고정되어서 가져올 수도 없고, 설사 가져온다 해도 함수의 실력이 떨어져서 결국 풀지 못한다. 중학 교과서는 모든 학년이 수와 식, 방정식, 함수, 도형이라는 교과 체제에 따라 공부한다. 즉 방정식을 다루고 나서 함수를 배운다. 방정식과 그 활용에서 지지고 볶다가 지친 상태에서 함수를 배우게 되는데 함수의 방정식과의 연계관계를 생각하지 못한다. 방정식은 방정식이고 함수는 함수, 즉 별개의 것이라는 생각이 3년 동안 지속되다가 갑자기 고등학교에서 방정식을 풀면서 함수를 가져오니 이해도 안 되고 낯선 것이다.



넷째, 그래프의 개형과 함숫값 간의 관계를 인식시키지 않았다.


중학교에서 다루는 함수는 일차함수와 이차함수밖에 없다. 즉 그래프를 그리면 직선과 포물선이라는 딱 두 가지의 종류밖에 없다. 그래프 몇 개만 그려보고는 이해했을 거라 생각하고 문제를 풀리는 것이 대부분이다. 맞다. 그래프만 생각한다면 몇 개만 그려봐도 되지만, 함숫값을 인식 시키고 함숫값에 따른 x의 값이나 x의 범위를 다루는 방정식과 부등식이 들어가려면 많은 양의 연습이 필요하다.

필자가 가르치는 아이들은 일차 함수와 이차함수의 그래프의 개형을 그리고, f(3), f(x), f(x)=0, f(x)>0 등이 의미하는 바를 익힌다. 간혹 함수의 그래프를 정성껏 많이 그리는 경우를 보는 데, 그래프는 개형이라서 대충그려도 좋은데 그 의미하는 바를 말로 확실하게 말할 수없다면 소용이 없다. 그래프의 개형이 한 눈에 드러와야겠지만 또하나의 변수는 필자가 만든 '미결정직선'이 모든 함수의 어려운 문제에서 사용된다. 아이들을 가르칠수록 그 간단한 '함숫값'이나 '미결정직선', '이동' 등이 아이들에게 들어가서 자유롭게 사용되기까지가 한참 걸린다는 것을 새삼 깨닫곤 한다. 대신 이것들이 자유자재로 사용할 수있다면 새로 배우는 함수에서도 어렵지 않게 사용되면서 고등수학의 대부분을 차지하는 함수에서 자신감을 갖는다. 수학에서 자신감이 실력과 함께 있을때, 당연히 중학 함수와 방정식은 물론 고등함수가 아니 고등수학이 쉬워진다.



중학 함수를 지도하는 새로운 제안 :

함수를 먼저 공부하고 확장으로 방정식을 공부해보자!



필자는 방정식은 연산에 불과하다고 생각하는데 중학교 방정식은 기껏해야 일차, 이차밖에 없고 그걸 삼년간이나 한다. 배울 때야 등식의 성질이니 하며 정확하게 개념을 생각해야 하지만, 나중에는 그냥 연산처럼 아무 생각 없이 풀어도 된다는 말이다.


수식의 기본을 익혀야 할 때, 개념도 없이 아무 생각 없이 대입하고 방정식이나 풀면서 3년을 지내다가 갑자기 어려워진 고등수학에서 깊은 생각을 하라니 멘붕이 오는 것이다. 이처럼 교과서 방식대로 방정식을 풀고 나서 함수를 하면 서로가 분리되어 방정식에서 생각할 수 없다.


그렇다면 거꾸로 먼저 함수를 배우고 나서 함수의 확장으로 방정식을 배워보자. 함수를 제대로 배우고 그래프를 충실히 연습한 뒤에 방정식을 함수로 설명하게 되면 함수도 잡고 비로소 방정식에서 생각할 수도 있게 된다. 새로운 방식이라서 망설일지도 모르지만 방정식에 함수를 가져오는 것이 고등수학에서의 방정식을 바라보는 방식이다. 방정식을 함수를 이용해서 풀려면 함수와 관련한 방정식의 정의가 필요하다. 필자가 함수와 관련되도록 하는 방정식의 정의를 '두 함수의 교점의 x좌표'라고 정의를 내렸다. 늦어도 중3의 이차방정식부터는 이 정의를 이용하여 문제를 풀어야 한다. 물론 이 정의를 가지고 모든 어려운 고등의 방정식은 물론이고 수능까지 사용하게 될 것이다.


이런 문제점을 지적하는 분도 있을 것이다. ‘일차방정식을 풀 줄 알 아야 일차함수를 하고 무리수와 인수분해를 해야 이차함수를 할 수 있지 않나?’ 어차피 방정식이나 인수분해는 그냥 단순히 연산에 불과하니 연산을 별도로하고 함수의 개념을 다른 개념과 함께 배우고 나서 중학도형을 그후에 해도 늦지 않아보인다. 기본적인 연산으로 일차 방정식이 되면 일차함수를 공부하고 나서 일차함수의 확장으로 다시 일차방정식을 다룬다는 말이다. 그 사이 연산으로 인수분해가 되면 이차함수로 갔다가 이차함수의 확장으로 이차방정식을 다루는 것이다. 기대나 예상이 아니라 경험에서 얻은 결론이다.


이런 방식으로 아이들을 가르치니 더 쉽게 받아들이고 함숫값도 잡히고 방정식을 풀면서 생각하는 것이 보인다. 중학교에서 잘했든지 못했든지 필자가 가르치는 모든 고등학생들은 중학교의 함수개념을 부족하지만 2달정도만 가르치면 웬만한 함수개념은 설명을 모두 할 수 있었다. 개인적으로 고등학생들마다 모두 중학함수를 가르치는 것이 불편하고 힘들지만, 한편으로 이 설명이 안되면 고등의 대부분의 설명을 할 수없고 또 2달정도만 가르쳐도 될 만큼 많지도 않다는 말이 될 수 있다. 게다가 중학교에서도 어려운 방정식 문제는 '두 함수의 교점의 x좌표'라는 정의를 이용하여 함수로 문제를 접근한니 문제에 대한 이해가 훨씬 좋아졌다. 안 할 이유가 없다. 



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