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조안호 칼럼

학생들의 수학공부에 도움이 되는 조안호선생님의 여러 가지 글들을 실어놓았습니다. 학부모님들뿐만 아니라 학생들도 읽었으면 좋겠습니다.

초등수학의 연산과 개념 그리고 확장...

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작성자 관리자
댓글 0건 조회 2,039회 작성일 21-06-17 16:01

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연산을 잡지 못하면 확장은 없다.


초등수학을 공부하는 순서는 ‘연산과 개념⇨확장’의 순서를 밟아야 한다.

그런데 수는 자연수와 분수가 있어서 각각의 연산이 이 순서와 확장을 따라야 한다.

초등수학을 전체적으로 보면 1학년의 자연수의 덧뺄셈의 가로셈을 하고 이에 대한 확장을 2학년에서 세로셈으로 한다.

두 자리 수의 곱셈과 나눗셈을 하여 3학년까지 자연수의 사칙계산을 모두 배우게 된다.

이제 4학년은 사칙계산을 바탕으로 큰 수나 혼합계산 등 자연수의 확장이라는 작은 완성을 하게 된다.

이제 4학년말의 분수시작을 기점으로 5학년은 분수의 사칙계산을 하게 된다. 6학년은 당연히 분수의 확장을 다루게 된다.


수를 공부하는 학문인 수학은 그 수가 자연수와 분수밖에 없다.

소수도 분수로 들어가고 중고등학교를 거치면서 다양한 수가 나오는 것 같지만

알고 보면 ‘음의 부호(-)’가 붙을 뿐 결국 연산은 자연수와 분수만이 있을 뿐이다.


수로 보면 4학년까지 4년 동안 자연수를 하고 6학년까지 2년 동안 분수를 공부하게 된다.

중고등학생들을 보면 자연수의 연산을 못하는 아이는 거의 없다.

다만 느리고 오답이 나올 뿐이지만 수가 커지지 않기에 자연수 때문에 수학이 어려워지는 것은 아니다.

그렇다면 수학이 어려워지는 이유는 극명하게 드러난다. 분수가 수학을 어렵게 하는 직접적인 원인이다.


초등학교에서 3년이 넘도록 수많은 공교육과 사교육을 거치지만,

중학생의 절반이 분수에서 얻어야 하는 많은 개념은 고사하고 사칙연산조차 혼동한다.


학부모 중에서도 학창시절에 누가 설명하면 알겠는데 막상 풀면 안 되었던 경험을 갖고 있는 분들이 있을 것이다.

분수가 아예 안 되면 설명해도 못 알아듣지만, 분수가 되는 만큼 이해가 되었던 것이었다.

지금도 분수가 부족한 많은 중학생들이 학원과 과외 등을 받고 있지만 어디에서도 부족한 분수를 채우지는 않는다.

그러면 단원에 따라 일시적으로 일부 올라갈 수는 있겠지만 장기적으로 성적은 점차 떨어져

중3에서 분수를 못하는 모든 중학생이 수학을 포기하게 된다.


잔인하게 들리겠지만 수학은 수를 다루는 학문으로 수가 안 된다면 학문자체를 할 수 없는 것은 당연하다.



연산력을 기르는 학년은 1, 3, 5의 홀수 학년이고 가장 쉬우며 가장 중요한 학년들이다.

1학년은 덧셈과 뺄셈의 가로셈으로 암산력을 기르는 과정이고 3학년은 구구단과 암산력을 바탕으로

곱셈과 나눗셈에서의 빠르기를 완성하는 학년이다.

5학년은 분수의 사칙계산을 하는 학년으로 분수의 중요성은 누누이 강조한 바 있다.


각각의 완성하기 위해 거의 1년 정도씩의 시간이 걸리지만 그것도 빠른 것이다. 수학은 고등학교까지 가야 할 길이 멀다.

진정 수학을 잘하기 위해서 초등학교에서 연산에 3년을 투자하는 것은 시키는 사람이나 배우는 사람에게나

오래 걸리는 일이라고 하겠지만 이것은 절대 긴 시간이 아니다.


덧뺄셈을 예를 들어 본다.

1학년에서 작은 수의 연산을 하고 2학년에서 세로셈으로 두 자리 수와 세 자리 수끼리

3학년에서 네 자리 수끼리의 연산으로 순차적으로 수가 커져가고 있다.

이것들 익혀가는 데 공부하는 시간을 균등 배분하는 것은 참으로 효과가 떨어지고 아이만 고생하는 방법이다.


암산력에서 80-90%의 시간을 사용하고 나머지 큰 두세네 자리 수는 10-20%를 사용하면 충분하다.

세로셈은 계산할 때, 내부적으로는 한두 자리 수에서 한 자리 수를 더하거나 빼기를 하는 것이라서 암산력만 길러주었다면 어렵지 않다. 그런데 대부분의 사람들은 거꾸로 공부를 시키고 있다.

쉬운 두자리수와 한자리수의 연산에서 완성시키기보다는 다 맞았다고 얼른 넘어가고,

큰 수에서는 오답이 나왔다고 자꾸 시키면 효과를 얻기는커녕 많은 부작용만 심화시키고 수학만 싫어지게 만드는 결과를 가져온다.




연산을 시켜가며 사람들이 간과하는 것이 세 가지이다.


첫째는 웬만큼만 하면 시간이 지나면서 점점 나아질 거란 안일한 생각을 갖는다.

예를 들어 3학년에서 수학의 원천 빠르기가 끝난다.

이때 빠르면 평생 빠르고, 이때 느리면 평생을 느리게 된다.

이 글을 보고 있는 학부모도 그 시절에 빠르기가 끝난 것이다.

이후로 일부 증강이 이루어지는 것은 감각이 커지기 때문이며 근본적인 빠르기는 끝난 것이다.


둘째, 큰 수를 연습하면 작은 수가 저절로 될 것이라는 근거없는 생각이다.

10년씩 현장에서 가르친 선생님들도 막연하게 큰 수를 연습하면

작은 수가 될거라고 생각하는 경우가 많으니 일반 학부모는 말해 무엇하랴.

연산에 관한 실험이 전세계적으로 없음으로해서 벌어지는 일이다.

큰 수를 연습시킨다고 작은 수가 절대 증강되지 않는다.

대신에 큰 수의 연산을 계속시킨다면 실력도 안늘고 수학을 싫어하고 대충병에 걸리며 생각하지 않는 최악의 아이로 변하게 될 것이다. 


셋째는 연산의 목표가 암산에 있음을 모른다.

초등학교 6년과 중학교 3년의 9년간의 공부는 모두 고1의 공통수학을 준비하는 것이다.

암산력이나 빠르기를 완성하여서 기껏 초등수학에 사용하려는 것이 아니다.

심각하게 느리면 4-5학년에서도 걸리겠지만, 느리면 중2-3에서 걸린다.


따라서 모든 연산의 목표는 고1의 공통수학이고 이때는 작은 수 10-20개의 암산을 요구한다.

고등학교에서 잘하는 아이는 한 시간에 2-30문제를 푸는 데 반해,

못하는 아이는 한 시간에 2-3문제를 풀어 하루 종일 풀어도 잘하는 아이의 한 시간 거리도 못 풀게 된다.

게다가 기껏 풀은 문제의 상당수가 간단한 덧셈뺄셈의 연산에서 틀리게 되어 실수라며 자기 머리를 쥐어박는다.

수학에서는 실수가 없고 오로지 실력만 있을 뿐이다.


이처럼 공통수학을 공부할 수 없는 정도의 암산, 빠르기, 분수의 연산을 한다면

학년을 올라가면서 원인도 모르면서 탈락하게 된다.

진짜 열심히 하려고 한 아이들조차 열심히 안한 죄를 뒤집어쓰면서...

연산을 잘한다고 수학을 잘한다는 것은 아니지만,

자신감을 갖게 하고 개념을 보다 튼튼하게 하고 확장을 빠르게 한다.

초등학교 때 3년 동안의 연산에 대한 투자는 가치가 있고 이것이 선이 굵은 한 공부방법이다. 



수학을 지탱하는 2개의 축


우리 아이의 머리가 좋다고 사칙연산을 가르쳐야 할 시기에 창의력을 가르치고 있다면,

초등학교 4학년이 되어 사칙연산을 다시 공부해야 할지도 모른다.

단계별 학습이라는 수학의 특수성을 무시하지 않는 것이 우리 아이의 공부를 위해 맨 먼저 지켜야 할 일이다.

한 걸음 빨리 나가고 싶은 욕심 때문에 두 걸음 뒤쳐질 수도 있다는 생각을 하는 부모는 얼마나 될까?

 

고등학교까지의 수학에서 창의력은 존재하지 않는다.

그래서 수학은 수를 세거나 계산하는 기능적인 부분인 연산과 문제를 풀기위해 생각하는 사고력만이 존재한다.

그런데 연산이나 방정식을 푸는 것과 같은 기능적인 부분을 할 때는 생각이 멈춘다.

그렇다고 문제푸는 방법이나 해결전략에만 치중하면 우습게 여기던 연산이 안 되어 틀리거나 확장이 안 된다.

이들 형식적인 기능을 기르는 일과 사고력을 기르는 과정이 심리적으로는 서로 반대가 된다.

그래서 많은 학부모가 우왕좌왕하는 것이다. 힘이 들더라도 연산과 사고력을 동시에 길러가야한다.


연산과 사고력의 적절한 조화는 분량이 많아서 나중에 별도로 다루겠다.

절대절대절대 연산력을 먼저 빠르게 몇 년 기르고 나중에 사고력을 기르겠다고 생각해서는 안된다.

연산만을 하는 1년 내에 특히 큰 수의 연산문제를 많이 풀면서 사고력은 커녕 이미 아이는 좀비가 되어갈 것이다.

그리고 무조건 생각하라는 것이 사고력이 아니며 우리가 필요로 하는 것은 수학적 사고력이다.

그래서 시중에 사고력연산이라고 하는 것들은 사고력이 아니라 그냥 연산일 뿐이다.

개념으로 문제를 접근하는 것만이 수학의 실력을 길러주는 수학적사고력이다.

만약 사고력의 깊이와 넓이가 충돌할 때는 깊이를 먼저하고 확장을 하는 넓이로 가는 순서로 해야 할 것이다.


-수학통역사 조안호의 글 중에서-


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